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Fonctions hyperboliques
Pour les graphiques, le plan est rapporté à un repère orthonormé .
Les fonctions hyperboliques directes
Définition
Pour tout , on pose :
, , , et pour ,
Déjà, on a la formule :
En effet, pour tout ,
Etude de la fonction sh (sinus hyperbolique)
- On voit tout de suite qu’elle est impaire, strictement croissante et de classe sur R.
- De plus, on voit immédiatement aussi que :
, , ,
- Ainsi, est une bijection continue et strictement croissante de R dans R.
- DL à n’importe quel ordre en 0 :
et
Donc
Etude de la fonction ch (cosinus hyperbolique)
- On voit tout de suite qu’elle est paire et de classe sur R.
- On a sans difficulté :
, , ,
- Il en résulte que constitue une bijection continue strictement croissante de dans .
- DL à un ordre quelconque en 0 :
Graphes comparés des fonctions sh et ch
- Les sens de variation, les tangentes au point d’abscisse 0 et les branches infinies (qui sont des branches paraboliques verticales) sont immédiatement tirés des études précédentes.
- De plus, comme , la fonction est convexe sur et concave sur , ce qui donne la position de la courbe par rapport à sa tangente au point d’abscisse 0 (position que l’on retrouve localement grâce au DL)
- Enfin, comme , est positif et tend vers 0 en
- Notons enfin que la courbe représentative de ressemble à une parabole mais n’en est pas une (c’est une chaînette : c’est la forme que prend effectivement une chaînette lorsqu’elle est pendue par deux bouts…)
Justification du terme hyperbolique
Les fonctions et s’appellent des fonctions circulaires parce que le cercle d’équation peut se paramétrer en
La branche « droite » de l’hyperbole peut quant à elle se paramétrer en .
En effet :
Si M a pour coordonnées , comme on a et , M appartient donc bien à la branche droite de l’hyperbole.
Réciproquement, si appartient à cette branche droite, alors :
Soit tel que (il en existe un, et même un seul). Mais comme et , on a alors , et, comme , .
Fonction th (tangente hyperbolique)
est de classe sur R, impaire.
De ces trois derniers points, on tire que constitue une bijection continue et strictement croissante de R dans
DL en 0 :
admet un DL en 0 à tout ordre, et on obtient les premiers termes de la même façon qu’avec la fonction tangente :
car est impaire et
Donc , soit
Ainsi,
Fonction coth (cotangente hyperbolique)
Elle est de classe sur , impaire.
Et autres propriétés tirées de pour
Graphes de th et coth
Formulaire
On tire tout de suite des définitions les formules suivantes :
Formules d’addition :
Démonstration de (1) :
La démonstration de (2) est analogue.
De (1) et (2) on tire :
En effet :
(dernière égalité obtenue en divisant « en haut et en bas » par )
De (1), (2) et (3) on tire alors :
Ces dernières formules donnent alors, pour tout et en posant
En effet :
(en divisant haut et bas par )
De même pour , puis poser ensuite
Enfin, il faut savoir retrouver ce que l’on obtient par addition et par soustraction à partir de (1) et (2) :
Ces quatre formules permettent de linéariser des produits (c'est-à-dire les transformer en sommes), ce qui est utile dans de nombreux cas. Réciproquement, en posant au besoin , on transforme des sommes en produits.
Moyen mnémotechnique à partir des formules de la trigonométrie circulaire : les signes qui précèdent un sinus carré ou un produit de deux sinus, ou une tangente carrée ou un produit de deux tangentes sont échangé, le reste est pareil.
Fonctions hyperboliques inverses
Argsh (Argument sinus hyperbolique)
réalise une bijection de classe strictement croissante de R dans R, dont la dérivée ne s’annule pas.
On appelle la réciproque de cette bijection. est donc de classe et strictement croissante.
Dérivée :
Donc
Propriétés diverses :
est impaire (car l’est)
Expression logarithmique :
Soient . On a les équivalences :
Résolution de l’équation (d’inconnue u)
Les racines sont .
Donc, en reprenant les équivalences :
Ainsi,
Argch (Argument cosinus hyperbolique)
réalise une bijection de classe strictement croissante de dans . On appelle sa réciproque.
est de classe sur , et :
Soit
Expression logarithmique :
Soit . Posons . y est l’unique réel positif dont le vaut x, c'est-à-dire
On a les équivalences :
Or, et (car )
De plus, donc
Donc en reprenant les équivalences :
Ainsi,
Argth (Argument tangente hyperbolique)
est définie sur , de classe , strictement croissante, et est impaire.
, ,
Expression logarithmique :
On peut faire par résolution de l’équation …
Autre méthode :
Pour tout , on a :
Une primitive de est donc
Donc et ne diffèrent que d’une constante. Or, elles sont toutes deux nulles en 0, donc .
Argcoth (Argument cotangente hyperbolique)
est définie sur , à valeurs dans
Expression logarithmique :
