Why is the square root of 2 an irrational number?

That's because your calculator is lying to you lol

1.41421356237309504880168872420969807856 96718753769480731766797379907 32478462107038850387534327641 57273501384623091229702492483 60558507372126441214970999358 31413222665927505592755799950 50115278206057147010955997160 59702745345968620147285174186 40889198609552329230484308714 32145083976260362799525140798 96872533965463318088296406206 15258352395054745750287759961 72983557522033753185701135437 46034084988471603868999706990 04815030544027790316454247823 06849293691862158057846311159 66687130130156185689872372352 88509264861249497715421833420 42856860601468247207714358548 74155657069677653720226485447 01585880162075847492265722600 20855844665214583988939443709 26591800311388246468157082630 10059485870400318648034219489 72782906410450726368813137398 55256117322040245091227700226 94112757362728049573810896750 40183698683684507257993647290 60762996941380475654823728997 18032680247442062926912485905 21810044598421505911202494413 41728531478105803603371077309 18286931471017111168391658172 68894197587165821521282295184 88472089694633862891562882765 95263514054226765323969461751 12916024087155101351504553812 87560052631468017127402653969 47024030051749531886292563138 51881634780015693691768818523 78684052287837629389214300655 86956868596459515550164472450 98368960368873231143894155766 51040883914292338113206052433 62948531704991577175622854974 14389991880217624309652065642 11827316726257539594717255934 63723863226148274262220867115 58395999265211762526989175409 88159348640083457085181472231 81420407042650905653233339843 645786579679651926319

1.414213562373095048801688724 20969807856967187537694807317 667973799… (sequence ).

And online check you
http://www.squarerootcalculator.co/
root2=1.4142136