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SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES I. Généralités 1. Notion de suite Définitions Une suite u est une fonction définie sur qui à tout entier naturel n associe un réel u(n) noté . Le réel est appelé terme d’indice (ou de rang) n de la suite u. Notation La suite u est aussi notée ou plus simplement . Exemple u est la suite définie sur par =. Son terme d'e rang 10 est ==. Remarque Il peut arriver qu’une suite u ne soit définie qu’à partir d’un certain entier naturel p. On la note alors . Exemple La suite u de terme générale est définie pour nÃ2. On note . 2. Suite définie par une formule explicite Définition Une suite est définie par une formule explicite lorsque son terme général est exprimé en fonction de n indépendamment des termes précédents. On peut alors calculer n’importe quel terme de la suite directement à partir de son indice. Exemple u est la suite définie sur par = n×(n-1)×(n-2)×…×2×1. Alors =5×4×3×2×1=120. Remarque Si f est une fonction définie sur alors la suite u définie sur par =f(n) est une suite définie par une formule explicite. Exemple u est la suite définie sur par =2n?1. Alors =f(n) où f est la fonction définie sur par f(x)=2x?1. =2×100?1=199. 3. Suite définie par une relation de récurrence Définition Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu’elle est donnée par son premier terme et une relation exprimant en fonction de . Pour calculer un terme, on est alors obligé de calculer tous ceux qui le précèdent. Exemple u est la suite définie par =2 et pour tout nÃ0, =+1. Pour calculer , il faut alors calculer et  : =+1=5 ; =+1=11 donc =+1=23. 4. Représenter graphiquement une suite Pour représenter graphiquement une suite u, on peut : Placer sur un axe les points d’abscisses  ; Placer dans un repère du plan les points de coordonnées  ; Dans le cas d’une suite définie par une formule explicite de la forme =f(n), on trace la courbe représentant la fonction f et on marque les points de d’abscisses entières positives ; Si u est une suite définie par une relation de récurrence =f, on trace la courbe représentant la fonction f. On place sur l’axe des abscisses et on obtient =f comme ordonnée du point de la courbe d’abscisse . On place sur l’axe des abscisses à l’aide de la droite D d’équation y=x et on obtient =f comme ordonnée du point de d’abscisse . On place sur l’axe des abscisses à l’aide de la droite D et ainsi de suite. 0 1 1 D 0 1 1 D Le chemin obtenu en reliant les points , , ,… est la représentation graphique en chemin de la suite. II. Sens de variation d’une suite 1. Suite croissante, suite décroissante Définitions Soit u une suite. On dit que u est croissante lorsque pour tout entier naturel n, Â. On dit que u est décroissante lorsque pour tout entier naturel n, Â. Exemple Soit u la suite définie sur par =2n+1. Pour tout entier naturel n, =2(n+1)+1=2n+3 =+2 donc  : la suite u est croissante. Remarque Lorsque pour tout entier n, =, on dit que la suite u est constante. 2. Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite Pour étudier le sens de variation d’une suite u, on peut procéder de l’une des façons suivantes. Méthode 1 : on étudie le signe de la différence ?. Si pour tout entier naturel n, ?Ã0 alors la suite u est croissante ; Si pour tout entier naturel n, ?Â0 alors la suite u est décroissante. Exemple Soit u la suite définie sur par =n²?n?2. Pour tout entier naturel n, ?=(n+1)²?(n+1)?2?(n²?n?2)=2nÃ0 donc u est croissante. Méthode 2 : si =f(n), on utilise le sens de variation de la fonction f. Si f est croissante sur alors la suite u est croissante ; Si f est décroissante sur alors la suite u est décroissante. Exemple Soit v la suite définie sur par =-3n+5. Pour tout n, =f(n) où f est la fonction définie sur par f(x)=-3x+5. f est décroissante sur donc la suite u est décroissante. Méthode 3 : si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on compare à 1. Si Ã1 alors la suite u est croissante ; Si Â1 alors la suite u est décroissante. Exemple Soit w la suite définie sur par =. Pour tout n, >0 et ==2>1 donc la suite w est croissante. I) Suites numériques Voir problème : Jeux de logique 1) Définition et notation Une suite numérique est une fonction de dans . On note la suite (un). u : n u(n) = un un est le terme de rang n (ou d’indice n) de la suite (un). 2) Détermination d’une suite Une suite numérique peut être déterminée de différentes façons : par son terme de rang n ; par une relation de récurrence (relation entre deux termes consécutifs) et la donnée du premier terme. Exemples la suite (un) définie par un = -2n + 3 (où n) la suite (vn) définie par : (où n) II) Suites arithmétiques Voir problème : Suites arithmétiques 1) Définition Soit r un nombre réel non nul. Si, pour tout entier naturel n, la suite (un) vérifie un+1 = un + r, alors la suite (un) est arithmétique de raison r. 2) Expression de un en fonction de n Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r est : un = u0 + nr (n) Si u1 est le premier terme de la suite (un) alors : un = u1 + (n – 1)r (n*) 3) Sens de variation et représentation graphique Soit (un) une suite arithmétique de raison r. Si r > 0, alors la suite (un) est strictement croissante. Si r = 0, alors la suite (un) est constante. Si r < 0, alors la suite (un) est strictement décroissante. III) Suites géométriques Voir problème : Suites géométriques 1) Définition Soit q un nombre réel non nul. Si, pour tout entier naturel n, la suite (un) vérifie un+1 = q un, alors la suite (un) est géométrique de raison q. 2) Expression de un en fonction de n Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est : un = qn u0 (n) Si u1 est le premier terme de la suite (un) alors : un = qn-1 u1 (n*) 3) Sens de variation et représentation graphique Soit (un) une suite géométrique de raison q > 0. Si q > 1, alors la suite (un) est strictement croissante. Si q = 1, alors la suite (un) est constante. Si q < 1, alors la suite (un) est strictement décroissante. I. Suites On appelle suite toute fonction de vers , qui à un nombre n associe son image un, appelé terme général de la suite. On peut la définir (c'est-à-dire permettre de déterminer les termes u1, u2, u3 … de deux façons différentes : A la façon d’une fonction, en donnant un moyen de calculer directement un à partir de n. Exemple : un = u1 = 1 u2 = u3 = (…) Par récurrence, c'est-à-dire en donnant  Exemple : u1 = 3 u2 = 7 u3 = 15 (…) II. Suites arithmétiques a. Définition On appelle suite arithmétique toute suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant un nombre constant r appelé raison de la suite. Elle est donc définie par récurrence par : Exemple : u1 = -3 u2 = 1 u3 = 5 u4 = 9 (…) b. Propriété Soit (un) une suite arithmétique de 1er terme u0 et de raison r. Alors pour tout n, on a : Exemple : (un) est une suite arithmétique de 1er terme u0 = -7 et de raison r = 4 u1 = -7 + 1 × 4 = -3 u2 = -7 + 2 × 4 = 1 u3 = -7 + 3 × 4 = 5 u4 = -7 + 4 × 4 = 9 (…) c. Somme des premiers termes d’une suite arithmétique Propriété : La somme des n + 1 premiers termes (de u0 à un) d’une suite arithmétique est : ou III. Suites géométriques a. Définition On appelle suite géométrique toute suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant par un nombre q constant appelé raison de la suite. Elle est donc définie par récurrence par  Exemple : u1 = 6 u2 = 12 u3 = 24 u4 = 48 (…) b. Propriété Soit (un) une suite géométrique de 1er terme u0 et de raison q. Alors pour tout n, on a : Exemple : (un) est une suite géométrique de 1er terme u0 = 3 et de raison r = 2 u1 = 3 × 21 = 6 u2 = 3 × 22 = 12 u3 = 3 × 23 = 24 u4 = 3 × 24 = 48 (…) c. Somme des premiers termes d’une suite arithmétique Propriété : La somme des n + 1 premiers termes (de u0 à un) d’une suite géométrique est : ou Exercices suites Exercice 1 On considère la suite u définie par =0 et =. a. Calculer , , . b. En déduire que u n'est ni arithmétique, ni géométrique. On considère la suite v définie par = pour nÃ0. Calculer , , et . En déduire une conjecture sur la nature de v. Démontrer la conjecture précédente. En déduire l’expression de en fonction de n. Vérifier l’expression obtenue en calculant , et . En déduire l’expression de en fonction de n. Vérifier l’expression obtenue en calculant et . Exercice 2 Soit u la suite définie par =-1 et pour tout entier naturel n, =+n+1. a. Calculer , , et . b. Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier. On définit la suite v par =? pour tout entier naturel n. a. Calculer les 4 premiers termes de la suite v. b. Montrer que v est une suite arithmétique. a. Calculer ++…+ en fonction de n. b. Exprimer ++…+ en fonction de . c. En déduire l’expression de en fonction de n. Vérifier l’expression obtenue en calculant , , et . Correction Exercice 1 a. ===-3 ====9 ====4,2. ==== b. ?=-3?0=-3 et ?=9?(-3)=12 : u n’est pas arithmétique. Pour tout réel k, =k×0=0ý : u n’est pas géométrique. a. ===3 ; ====; ====; =====. Conjecture : v est une suite géométrique de raison . b. Pour tout entier naturel n : = Or ?3=?3== et ?1=?1== Donc =×===×=. On en déduit que v est une suite géométrique de raison . c. Pour tout entier naturel n, =×=3×=. Vérification : ==; == et ==. Pour tout entier naturel n, = donc = : 3×=× ?3=×?3× -3+3×=×? 3=× Donc =. Vérification : ===-3 et ===9. Exercice 2 a. =-1 ; =+0+1=0 ; =+1+1=2 ; =+2+1=5 et =+3+1=8 b. ?=1 et ?=2 donc la suite u n’est pas arithmétique. Pour tout réel k, k=0ý donc la suite u n’est pas géométrique. a. =?=0?(-1)=1 ; =?=2?0=2 ; =?=5?2=3 ; =? or =+4=9 donc =9?5=4. b. Pour tout entier naturel n : ?=??(?) ?=+n+1+1?? ?=n+2?(n+1)=1 On en déduit que v est une suite arithmétique de raison 1. a. v est une suite arithmétique de raison 1 donc pour tout entier nÃ1 : ++…+= or =+(n?1)×1=1+n?1=n donc ++…+= b. Pour tout entier nÃ1 : ++…+=?+?+…+?+?=?. donc ++…+=+1. c. On en déduit que pour tout entier n : =+1 donc =-1=. ===0 ===2 ===5 ===9