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Angles et parallelisme.docx
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Transcript
ANGLES ET PARALLELISME
2493645208280x
O
y
z
Sommet commun aux angles et
Côté commun aux angles et
00x
O
y
z
Sommet commun aux angles et
Côté commun aux angles et
I) Angles adjacents
Activité : Faire deux angles adjacents
deux angles avec un côté commun mais pas avec le même sommet
deux angles avec le même sommet mais pas de côté commun
deux angles non situés de part et d’autres du côté commun
puis demander une définition de deux angles adjacents
1) Définition
Deux angles sont adjacents lorsque :
ils ont le même sommet ;
ils ont un côté commun ;
ils sont situés de part et d’autres de ce côté commun.
2) Propriété
Si deux angles et sont adjacents alors = +
Exemple :
Si = 10° et = 30° alors
= +
= 10 + 30
= 40°
II) Angles particuliers
1) Angles complémentaires
définition
Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°.
308737027305 37°
n
B
m
00 37°
n
B
m
Exemple :
427482080645 53°
r
C
l
00 53°
r
C
l
+
= 37 + 53
= 90°
donc les angles et sont complémentaires.
2) Angles supplémentaires
définition
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°.
488315071755 79°
t
G
v
00 79°
t
G
v
213741038100 101°
c
A
r
00 101°
c
A
r
Exemple :
+
= 79 + 101
= 180°
donc les angles et sont supplémentaires
III) Angles opposés par le sommet
3918585158115
x
z
t
O
y
O est le sommet commun
00
x
z
t
O
y
O est le sommet commun
Voir activité 1 p 200 : « angles opposés par le sommet »
1) Définition
Deux angles sont opposés par le sommet lorsque :
ils ont le même sommet ;
les côtés de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre.
Les deux paires d’angles opposés par le sommet sont :
et ; et
2) Propriété
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.
Si et sont opposés par le sommet alors = .
Si et sont opposés par le sommet alors = .
IV) Angles alternes-internes
1) Définition
Lorsque deux droites sont coupées par une sécante, dire que deux angles non adjacents sont alternes-internes signifie qu’ils sont situés :
de part et d’autre de la sécante ;
à l’intérieur de la bande formée par les deux droites.
2) Propriétés
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes-internes qu’elles déterminent ont la même mesure.
Si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles alternes-internes de même mesure alors ces deux droites sont parallèles.
2493645152400(d1)
(d2)
00(d1)
(d2)
Exemple :
Si (d1) // (d2) alors …=… et …=…
Si …=… ou si …=… alors (d1) // (d2)
V) Angles correspondants
Voir activité 3 page 202 : « angles correspondants »
1) Définition
Lorsque deux droites sont coupées par une sécante, dire que deux angles non adjacents sont correspondants signifie que :
ils sont situés du même côté de la sécante ;
un seul des deux angles est situé dans la bande formée par les deux droites
2) Propriétés
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles correspondants qu’elles déterminent ont la même mesure.
Si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure alors ces deux droites sont parallèles.
261239041275(d1)
(d2)
00(d1)
(d2)
Exemple :
Si (d1) // (d2) alors …=… et …=…
et …=… et …=…
Si …=… ou si …=… ou si …=…
ou si …=… alors (d1) // (d2)
CONSTRUCTION DE TRIANGLES ET INEGALITE TRIANGULAIRE
I) Inégalité triangulaire
Voir activité 1 page 162 : « Inégalité triangulaire »
1) Cas 1 et 2 de l’activité
4749800116840A
B
C
00A
B
C
Propriété
Si B n’appartient pas au segment [AC] alors
59372543180A
B
C
00A
B
C
Conséquence : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés
2) Cas 3 de l’activité
Propriété
Si B appartient au segment [AC] alors AC = AB + BC
178117556515A
C
B
00A
C
B
Si un point B vérifie : AB + BC = AC alors B appartient au segment [AC]
Propriété de l’inégalité triangulaire
Si A, B, et C sont trois points quelconques alors
II) Construction de triangles
AIRES DES FIGURES USUELLES
I) Aire d’un parallèlogramme
Voir activité : aire et découpage d’un parallélogramme
4393565134620B
A
(d)
(d’)
00B
A
(d)
(d’)
1) Distance entre deux droites parallèles
La distance entre les droites (d) et (d’) est égale à la longueur AB
2) Hauteurs d’un parallélogramme
Les hauteurs d’un parallélogramme sont les distances entre les droites supportant deux côtés opposés (éventuellement prolongés).
3) Aire d’un parallélogramme
L’aire A d’un parallélogramme est égale au produit de la longueur d’un coté par la hauteur correspondante.
A = B h = CD h’ = BC h’’
760095-615950A
B
D
C
h’
h’’
00A
B
D
C
h’
h’’
II) Aire d’un triangle
Voir activité : aire d’un parallélogramme et d’un triangle
2320290139700A
B
C
H
B
h
00A
B
C
H
B
h
L’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d’un coté par la hauteur relative à ce coté.
A =
A = (AH BC) : 2
49872900r
00r
III) Aire d’un disque
Voir activité 3 page 243 : aire d’un disque
L’aire d’un disque de rayon r est égale à
IV) Aires latérales
PREVOIR PRISME DROIT
L’aire latérale d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur.
47498090805P
h
h
P
00P
h
h
P
AL = P x h
Exemples :
Pour un prisme droit à base triangulaire dont la hauteur mesure 8 cm et les côtés du triangle 3 cm, 4 cm et 5 cm.
AL = P x h
AL = (3 + 4 + 5) x 8
AL = 12 x 8
AL =96 cm²
Pour un cylindre de révolution dont la base est un cercle de rayon 1,5 cm et la hauteur mesure 8 cm.
Calculons tout d’abord le périmètre du cercle :
P =
P =
P =
P =
P
AL = P x h
AL
AL cm²
Angle inscrits et angles au centre
Arcs de cercle
Définition : Deux points distincts A et B d’un cercle C définissent deux arcs de cercle.
3671570112649000
Exemple :
Les points A et B définissent un petit arc noté AB(traits pointillés) et un grand arc noté AB (trait plein).
Angles au centre
Définition : Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Exemple :
left254000
L’angle rentrant AOB est l’angle au centre interceptant le grand arc AB.
L’angle saillant AOB est l’angle au centre interceptant le l’arc AB.
Remarque : Un angle saillant a une mesure comprise entre 0° et 180° alors qu’un angle rentrant a une mesure comprise entre 180° et 360°.
Angles inscrits dans un cercle
Définition : Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent ce cercle.
-19558016637000
L’angle rentrant BCA est un angle inscrit qui intercepte l’arc AB(qui ne contient pas le point C).
L’angle rentrant BDA est un angle inscrit qui intercepte l’arc AB (qui ne contient pas le point D).
Propriétés des angles inscrits
Théorème : Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre.
Théorème : Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.
Exemple :
1389380401955M
B
N
A
O
00M
B
N
A
O
AMB=ANB=12AOB
Déterminer la mesure d’un angle
Technique :
On cherche l’arc intercepté par l’angle qui nous intéresse et on utilise :
L’angle au centre associé
ou
Un angle inscrit qui intercepte le même arc
ANGLES D’UN TRIANGLE
I) Somme des angles dans un triangle
Activité de découpage des angles d’un triangle quelconque.
Voir activité / démonstration 4 page 202 2)
Propriété
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
Exemple :
4001770-135890M
T
O
00M
T
O
Pour un triangle TOM :
II) Propriétés des triangles usuels
476885075565C
L
R
00C
L
R
Voir activité pliage et découpage de triangles isocèle, équilatéral, rectangle
1) Triangle isocèle
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.
4868545114300G
S
P
00G
S
P
2) Triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont même mesure.
Les angles d’un triangle équilatéral mesurent donc tous 60°.
180 : 3 = 60°
4156075103505T
M
A
00T
M
A
3) Triangle rectangle
Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires,
c'est-à-dire que leur somme est de 90°.
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