Suites reelles.docx

Suites réelles Définition Généralités Soit E un ensemble. Soit K un intervalle de N (du type ou ) non vide. Une suite d’éléments de E indexée par K est une application . L’ensemble des suites d’éléments de E indexées par K est noté (c’est aussi ) Dans le cas où , on parle de suites à valeurs réelles, ou suites réelles. Si , on parle alors de suites complexes. Pour , l’ensemble des valeurs de la suite est . On dit qu’une suite est infinie si elle est indexée par un ensemble infini. est le terme de rang k. On s’intéresse dans ce chapitre à Opérations sur les suites réelles Soient , . désigne la suite réelle w définie par : désigne la suite réelle h définie par : désigne la suite réelle u’ définie par : . "." : loi de composition à opérateur externe : . désigne la suite réelle dont tous les termes sont nuls : . (de même, ou 1 si il n’y a pas d’ambiguïté.) Remarque : Il n’y a pas intégrité, c'est-à-dire : Par exemple : Alors , mais et . Divers modes de définition de suites Définition explicite ; donnée, pour chaque , de en fonction de n (de façon plus ou moins complexe, avec éventuellement des sommes ou des conditions…) Définition récurrente : récurrence « simple » : est telle que : (Problème de définition éventuelle, dépend de f. On peut résoudre ce problème par récurrence) récurrence « double » : Définition implicite. Par exemple : « pour , est la solution réelle positive de l’équation  ». On peut aussi imaginer d’autres modes de définitions de suites, plus complexes… Suite croissante, décroissante… Soit une suite réelle. Définition, proposition : Démonstration : Supposons que . Soit . Comme , on a bien Supposons que . Soient . Si , on a . Si , alors (idem si ) Suite majorée, minorée… Soit Propriétés « à partir d’un certain rang » Soit Exemple : u est croissante à partir du rang 4 si et seulement si . On définit de même pour les autres propriétés. Une suite constante à partir d’un certain rang est dite stationnaire. Suite extraite Définition : Soit , . On dit que v est extraite de u lorsqu’il existe une application strictement croissante telle que . Exemple : Soit u la suite définie par . Alors les suites suivantes en sont extraites : La suite est constante et égale à 1. La suite est constante égale à -1. La suite où qui à 0 associe 0 et à associe le n-ième nombre premier est stationnaire à partir du rang 2. La suite est égale à la suite u. Suites convergentes Définition Soit . On dit que la suite est convergente lorsqu’il existe tel que Remarque : « Aussi petit que soit strictement positif, il existe un rang à partir duquel les termes de la suite sont dans l’intervalle  ». Théorème : Soit , Si converge vers l et l’, alors . Démonstration : par l’absurde. Supposons , par exemple . Soit tel que (ce qui est possible car ) Alors : et Si on prend , on aura alors : et Donc  ;  ; . Contradiction avec le choix de Conséquence : Si converge, l’unique réel l tel que est appelé la limite de la suite . On note , ou (attention aux notations : dans les deux premières égalités, on a des suites en argument, dans la troisième, on a un terme). Pour dire « la suite converge », on peut dire aussi «  admet une limite réelle ». Exemples de base : Soit a un réel. La suite constante égale à a converge vers a. En effet : Soit . Alors , puisque . On a donc trouvé N (à savoir 0) tel que . Donc La suite converge vers 0. Démonstration : Soit . Soit tel que . Alors, pour tout , on a : , or, donc . Donc la suite converge vers 0. Proposition : Soit et . On a les équivalences : En effet : Exemple : La suite converge vers 2. Convergence et suite bornée Théorème : Si une suite converge, alors elle est bornée. Démonstration : Supposons que converge. Notons l sa limite. Selon la définition de la convergence vers l, il existe tel que , . Donc , . Ainsi, en posant , il est clair que . Contraposée : Si n’est pas bornée, alors elle ne converge pas (elle diverge). Attention, la réciproque est fausse : est bornée, mais ne converge pas. En effet : Soit . Montrons que ne converge pas vers l. Prenons . Alors il n’existe aucun N tel que , . En effet, supposons qu’il en existe. Alors et . Donc . Contradiction car . « La notion de limite ne dépend pas des premiers termes » Proposition : Soit . Si u et v sont égales à partir d’un certain rang, alors elles sont de même nature (convergente ou divergente), et si elles convergent, c’est vers la même limite. Démonstration : Soit tel que . Supposons que converge vers une limite . Alors converge aussi vers l : Soit . On peut introduire tel que . Alors, si on pose , on a . Donc . Donc converge vers l. Etant donnés les rôles symétriques joués par et , on a donc l’équivalence converge converge ; donc, par contraposée, diverge diverge. Convergence et suite extraite Lemme : Soit une application strictement croissante de N dans N. Alors Démonstration par récurrence : car Soit , supposons que . Alors  ;  ; . Théorème : Si une suite converge vers , alors toute suite extraite converge vers l. Démonstration : Supposons que converge vers l. Soit une suite extraite de . Soit , strictement croissante, telle que . Soit . Comme converge vers l, il existe tel que . Alors pour tout , on a , donc . Ainsi, on a montré que Application : Généralement pour la contraposée. Soit la suite de terme général . donc diverge. Soit la suite de terme général donc diverge. Proposition : Si et convergent vers la même limite l, alors converge aussi vers l. Démonstration : Soit Soit tel que Soit tel que . Alors . En effet : soit . Si n est pair, n s’écrit sous la forme , et comme , on a , donc , soit, comme , . Il en est de même si n est impair. Donc Convergence et inégalités Proposition : Si converge vers l et si I est un intervalle ouvert contenant l, alors il existe un rang à partir duquel les termes sont dans I. Démonstration : Il est clair que si I est ouvert, et si , on peut trouver tel que . Soit alors un tel . Il existe donc tel que , c'est-à-dire Théorème (passage à la limite dans une inégalité) : Si deux suites , convergent vers l, l’ respectivement, et si il existe tel que , alors . Démonstration par l’absurde : Avec les hypothèses du théorème, supposons que . Soit alors tel que . Ainsi, Il existe donc tel que Et aussi tel que Alors, pour  : . Contradiction, car . Remarque : Les inégalités strictes ne se conservent pas par passage à la limite. Par exemple : , mais Cas particulier : Si a une limite, et si , alors Théorème (des gendarmes) : Soient . Si et convergent vers une même limite , et si il existe tel que , alors converge vers l. Démonstration : Soit . Il existe donc tel que . Et aussi tel que Alors, pour , on a On a donc trouvé M tel que . Donc Cas particulier : Si converge vers 0, et si , , alors converge vers 0. Plus généralement, si converge vers 0, et si , , alors converge vers l. Convergence et opérations sur les suites Proposition : Si une suite converge vers , alors converge vers . Démonstration : Pour tout , . Donc, d’après le théorème des gendarmes, converge vers . (Attention, la réciproque est fausse, sauf si ) Proposition : Soient , . Si converge vers , vers , alors : converge vers converge vers converge vers Démonstration : Soit . Il existe donc tel que (car ) Et tel que . Alors, pour , Donc . Donc converge vers . 1er cas : Soit . Il existe donc tel que (car ) Alors, pour tout , on a : 2ème cas :  : trivial, la suite nulle converge vers 0. La suite converge, elle est donc bornée. On introduit alors tel que On a alors, pour tout  : Donc, d’après le théorème des gendarmes, converge vers . Proposition : Si est bornée, et si , alors . En effet, on a : (voir démonstration précédente) Proposition : Si une suite converge vers , alors est définie à partir d’un certain rang et converge vers . Démonstration : converge vers l. Donc converge vers . Soit alors tel que . Il existe donc tel que , . Donc est définie au moins à partir de P. Montrons que Pour tout , on a : . Donc d’après le théorème des gendarmes, converge vers . Proposition (démontrée plus tard) : Soit à valeurs dans I. Supposons que converge vers . Si f est une fonction continue définie sur I, alors Limites dans On note On prolonge la loi + et la relation sur de la façon suivante : (Prolongation partielle) (Prolongation totale) Remarque : admet un maximum () et un minimum (). Définition : Soit tend vers lorsque tend vers lorsque « étant donné n’importe quel réel, il y a un rang à partir duquel on le dépasse » Proposition : Si une suite a une limite dans , alors elle n’en a qu’une. Démonstration : On suppose que tend vers , avec 1er cas : , déjà vu. 2ème cas : , . Il existe tel que Soit tel que . Il existe tel que Contradiction lorsque Autres cas (, ou , ) : procéder de même que pour le 2ème cas. Proposition : Si , alors n’est pas majorée. Si , alors n’est pas minorée. Proposition : Si , alors toute suite extraite de tend vers (même démonstration que pour l) Ainsi, si , alors toute suite extraite tend aussi vers l. Proposition : Si , alors à partir d’un certain rang (prendre dans la définition) Proposition : Si , et si , alors . Théorème : Si , et si , alors Si , et si , alors Proposition : Si , alors Si , et si , alors Proposition : Si et si est minorée, alors Démonstration : Soit tel que Alors Soit . Comme , il existe tel que Alors Proposition : Si et si il existe tel que, à partir d’un certain rang, , alors La démonstration est identique à celle de la proposition précédente. Proposition : Si , alors est définie à partir d’un certain rang et tend vers 0. Si et si à partir d’un certain rang, alors est définie à partir de ce rang et tend vers . Suite arithmétique – géométrique Suite arithmétique Soit une suite arithmétique de raison . Alors : Si , Si , est strictement croissante et tend vers . Si , est strictement décroissante et tend vers Suite géométrique Soit une suite géométrique de raison . Alors : Si , est nulle à partir du rang 1. Si , est constante. Pour , étude de la suite géométrique de terme général () Si , est strictement croissante Si , est strictement décroissante Si , n’est pas monotone. Démonstration : Pour les deux premiers : Pour le troisième : Pour les limites : Si , tend vers Si , tend vers 0. Si , pas de limite. En effet : pour , et tend vers , donc tend vers . Pour et , . Donc , soit . Comparaison de suites Suite négligeable devant une autre Définition : est négligeable devant quand n tend vers lorsqu’il existe une suite qui tend vers 0 telle que à partir d’un certain rang. On note alors Exemple : puisque , Définition équivalente dans un cas courant : Si la suite v ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors on a l’équivalence : tend vers 0. Ou encore : Démonstration : si v ne s’annule pas à partir du rang q. Supposons que . Il existe alors et tel que . Alors Supposons que . Alors, . Donc Proposition : La relation définie sur est transitive, compatible avec la multiplication, mais pas avec l’addition. En effet : Si et , alors à partir d’un certain rang, et à partir d’un certain rang. Alors, à partir du plus grand des deux rangs, . Donc . Si et , alors à partir d’un certain rang, et à partir d’un certain rang. Donc . Donc Contre-exemple pour l’addition : , mais  : Cependant, si et , alors . En effet : , à partir d’un certain rang, donc … Comparaisons classiques Pour les suites qui tendent vers  : Plus généralement, (exemple : ) En effet : Soient . Alors : lorsque lorsque Démonstration : , où si . Soit . Donc , soit Plus généralement, En effet : . Or, . Donc . Comme , on a bien si En effet : . Si on prend , on a, pour tout  : . Donc En effet : Notation : Pour dire qu’une suite u est négligeable devant une autre suite v, on note : («  égale une suite négligeable devant  ») Ainsi, désigne une suite négligeable devant . Suites équivalentes Définition : il existe une suite qui tend vers 1 telle que à partir d’un certain rang. Définition simplifiée : Si ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors Exemple : Autre définition : au voisinage de . Démonstration : Si , alors à partir d’un certain rang, où . Mais , où . D’où . Inversement : identique. Proposition : La relation ~ est transitive, réflexive, antisymétrique. Démonstration de la symétrie (les deux autres étant immédiats) : Si , alors à partir d’un certain rang, où . Mais alors à partir d’un certain rang, et , donc . Une relation transitive, réflexive, symétrique est une relation d’équivalence. Une relation transitive, réflexive, antisymétrique est une relation d’ordre. La relation ~ est compatible avec , mais pas avec + ; la démonstration est la même que pour <<. mais . Remarque : à partir d’un certain rang est stationnaire en 0. Proposition : Si , et si , alors En effet, à partir d’un certain rang. La réciproque est fausse, sauf si Démonstration : Si , alors . Par transitivité, si , alors . Contre-exemples si  : , . Divers vrai/faux classiques : Si , alors (compatibilité avec ) vrai Si , alors () vrai Si , alors (si défini) vrai. Si , alors est fausse en général (, et ) Si , alors est fausse en général. Equivalents usuels Si , alors : Suite dominée par une autre On dit que est dominée par lorsqu’il existe une suite bornée telle que à partir d’un certain rang. Cela revient à dire : est dominée par il existe tel que à partir d’un certain rang. Lorsque est dominée par , on note Exemple : Théorèmes portant sur les suites monotones Le théorème « de la limite monotone » (pour les suites) Théorème 1 : Soit une suite croissante de réels. - Si est majorée, alors converge vers - Si n’est pas majorée, alors tend vers . Ainsi, dans les deux cas, a une limite dans . Démonstration : Soit une suite croissante. Supposons majorée, c'est-à-dire que est majorée. Cet ensemble est une partie non vide et majorée de R. Il admet donc une borne supérieure . Montrons alors que converge vers l. Soit . Alors ne majore pas (puisque l est le plus petit majorant) Il existe donc tel que . Ainsi, comme est croissante, on a : , . D’où la convergence de vers l. Supposons non majorée. Montrons que tend vers . Soit . A n’est pas un majorant de . Il existe donc tel que . Donc, comme est croissante, , . Donc tend vers . Théorème 2 : Soit une suite décroissante. - Si est minorée, alors elle tend vers sa borne inférieure. - Si n’est pas minorée, alors elle tend vers . Ainsi, dans les deux cas, a une limite dans . Démonstration : Soit une suite décroissante. Appliquer le théorème précédent à Recopier la démonstration précédente en adaptant. Suites adjacentes Théorème : Soient deux suites réelles et . Si est croissante, si est décroissante et si tend vers 0, alors elles convergent vers une même limite. Vocabulaire : Démonstration : Supposons et adjacentes. Déjà, pour tout , . En effet, s’il existe tel que , alors, pour tout  : (car est croissante et décroissante) Soit , et donc . C'est-à-dire : D’où, par passage à la limite lorsque n tend vers , . Ce qui est contradictoire puisqu’on a supposé Donc Il en résulte que pour tout , . Donc est croissante et majorée. Elle converge donc vers . De même, converge vers . Comme , et , on a donc , c'est-à-dire . Donc et tendent vars la même limite. Exemple : Pour tout , posons : Et - est croissante, car pour tout , . - Pour tout , Donc est décroissante à partir du rang 1. - Donc et sont adjacentes, donc convergent vers une même limite e. Montrons que et que . - Déjà, , et . Donc en passant à la limite . - Supposons que , avec . Alors, comme est strictement croissante et est strictement décroissante et tendent vers e, on a : , . C'est-à-dire, pour tout , Donc, pour (on peut s’arranger pour que puisque la fraction n’est pas nécessairement irréductible) : , où a est un entier naturel. C'est-à-dire , ce qui est impossible car . Donc . Théorème des « segments emboîtés » Théorème : Soit une suite décroissante (au sens de l’inclusion) de segments emboîtés de R. Alors n’est pas vide, et si, de plus, l’amplitude de tend vers 0 lorsque n tend vers , alors est un singleton. Démonstration : Soient , les deux suites réelles telles que : Comme les sont emboîtés, on a . C'est-à-dire : . Ainsi, est croissante, et est décroissante. De plus, est majorée (par ), et est minorée (par ). Donc converge vers , et vers . Donc . Donc . Donc Si de plus l’amplitude de tend vers 0, alors , donc Donc . Mais on a aussi . En effet : Soit . Alors . D’où, par passage à la limite, . Donc, comme , . D’où l’inclusion. Donc . Un exemple très important : les suites construites par dichotomie Soient , deux suites réelles telles que : Alors : . est croissante, est décroissante. . Ainsi, et sont adjacentes, et convergent vers la même limite. Démonstration : - Montrons par récurrence que . C’est vrai pour . Soit , supposons que . Alors . Or, . Donc , ou . Soit, dans les deux cas, , ce qui achève la récurrence. - Soit . On a montré que . Donc . Or, . Donc , ce qui est valable pour tout n. Donc est croissante et est décroissante. - Soit . Alors . Donc est géométrique de raison . Donc . Le théorème de Bolzano–Weierstrass Théorème : De toute suite bornée de réels, on peut extraire une suite convergente. Démonstration : Soit une suite réelle bornée. On introduit alors , avec , tels que pour tout , . On commence par construire deux suites , telles que : , convergent vers la même limite. Pour tout , l’ensemble des entiers n tels que est infini. Pour cela, on procède par dichotomie : - On prend , . L’ensemble des entiers n tels que est infini, puisque c’est N. - En supposant et de sorte que et que l’ensemble des entiers n tels que est infini, on construit et de la manière suivante : Si l’ensemble des entiers n tels que est infini, on pose et . Sinon, l’ensemble des entiers n tels que est nécessairement infini, et on pose alors et . On a bien alors , et l’ensemble des entiers n tels que est infini La construction dichotomique de et assure de plus que ces deux suites convergent vers la même limite. On construit une suite strictement croissante d’entiers naturels de sorte que, pour tout , . Pour cela, on fait la construction récurrente suivante : - On prend tel que  : il en existe puisque l’ensemble des entiers n tels que est infini. - En supposant construit : comme l’ensemble des entiers n tels que est infini, il contient nécessairement des entiers strictement plus grands que  ; on peut donc trouver tel que Conclusion : La suite est une suite extraite de (puisque est une application strictement croissante de N dans N), et elle converge : En effet, on a, pour tout , . Or, et convergent vers une même limite, donc aussi d’après le théorème des gendarmes. Compléments Proposition : Tout réel est limite d’une suite de rationnels. Démonstration : Soit . Pour tout , on peut introduire un rationnel tel que . Donc la suite converge vers a. Idées pour les suites définies par des relations de récurrence du type  : Intérêt d’un « intervalle stable par f ». Intérêt du graphe de f. Intérêt des points fixes de f. Intérêt du signe de Intérêt de la croissance de f sur un intervalle stable contenant  : la suite est monotone. Intérêt de la décroissance de f sur un intervalle contenant  : et sont monotones de sens contraire. Intérêt de majorations du type . Développement décimal illimité propre d’un réel : Pour tout , notons Proposition : Soient , . Alors il existe un unique décimal tel que . On l’appelle la valeur décimale approchée par défaut d’ordre n de x. Démonstration : Pour tout , on a les équivalences : D’où l’existence et l’unicité de tel que , . Remarques : - est la partie entière de x. - On a, pour tout , , donc converge vers x. Proposition : Avec les notations précédentes, on note, pour tout , . Alors : Démonstration : Soit . Déjà, est un entier (puisque et le sont) De plus, on a : , et . Donc , soit , d’où . De plus, . (On peut montrer de plus par l’absurde que n’est pas stationnaire à 9)