Transcript
Propriétés des fonctions dérivables
Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R.
Extremums de fonctions dérivables
Soit , et soit .
Si f présente un extremum local, et si f est dérivable en a et si , alors .
Démonstration :
Supposons que f présente un maximum local en a.
Il existe alors tel que .
Comme a est intérieur à I, on peut supposer assez petit pour que .
En effet :
Il existe déjà tel que , et donc avec , on aura et . On notera pour dans la suite.
On a alors : .
Le passage à la limite quand donne
Mais on a aussi . Donc
Donc .
Toutes les hypothèses sont utiles :
La réciproque est fausse :
L’application a une dérivée nulle en 0, mais n’admet pas de maximum, même local, en 0.
Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Théorème de Rolle :
Soient tels que .
Soit .
Si f est continue sur , dérivable sur au moins, et si , alors il existe tel que .
Démonstration :
Supposons f continue sur . Alors l’image par f de ce segment est un segment, disons avec
Si , c'est-à-dire si f est constante sur , alors est nulle sur (on a le choix)
Si , l’un des deux est nécessairement différent de (et donc aussi de ), disons par exemple M (le raisonnement est le même pour m). De plus, celui-ci est le maximum de f sur (puisque f est continue sur le segment, donc atteint ses bornes). Il existe donc tel que . Alors déjà et , car . Donc . Donc f est dérivable en c, et f atteint un maximum en c, donc .
Attention :
est indispensable :
La continuité sur aussi :
Et enfin la dérivabilité sur :
Le théorème des accroissements finis :
Soient tels que .
Soit , continue sur , dérivable sur au moins.
Alors il existe tel que .
c est tel que la tangente en c de la courbe est parallèle à la corde .
Démonstration :
Soit la fonction affine coïncidant avec f en a et en b.
Soit h la fonction définie par : .
Alors h est continue sur , et dérivable sur (au moins), car f et le sont ( est même de classe )
On a :
Il existe donc tel que .
Or, ,
Et
Donc
Donc , soit .
Remarque :
Le théorème de Rolle devient maintenant une conséquence évidente du théorème des accroissements finis.
Autres versions :
Soient , avec .
On note pour , et autres avec les crochets ouverts…
Soit . Si f est continue sur , et dérivable sur , alors il existe tel que .
(« Théorème des accroissements finis entre a et b »)
Soit , continue sur I et dérivable sur . Alors, pour tous , il existe tel que .
En effet :
Si , on choisit quelconque.
Si , on peut appliquer la version précédente : f est continue sur , car , et dérivable sur car . Il existe donc tel que . Donc, avec (car ), on a bien le résultat voulu.
Soit , où I contient 0, continue sur I et dérivable sur . Alors, pour tout , il existe tel que
Démonstration :
C’est la version précédente entre 0 et x.
Inégalité des accroissements finis :
Théorème :
Soit , continue sur , dérivable sur . Si il existe tel que , alors .
Démonstration :
On applique le théorème des accroissements finis entre a et b. Il existe donc tel que . Donc .
On a aussi :
Soit , où . Si f est continue sur , dérivable sur et si il existe m et M tels que , alors .
Sens de variation des fonctions dérivables
Théorème :
Soit , continue sur I, dérivable sur . On a les équivalences :
f est croissante sur
f est décroissante sur
f est constante sur
Démonstration :
Déjà, (2) c’est (1) appliqué à , et (3) est obtenu avec (1) et (2). Reste à montrer (1) :
Supposons f croissante sur I. Soit , montrons que . On a :
(car f est croissante donc et sont de même signe)
Donc, par passage à la limite, .
Réciproquement, supposons que
Soient , avec .
Selon le théorème des accroissements finis appliqué à f entre et (on peut puisque f est continue sur et dérivable sur ), il existe tel que , donc .
Théorème :
Soit , continue sur I, dérivable sur . On a alors l’équivalence :
f est strictement croissante sur
Pour Z, cela signifie que Z ne contient pas d’intervalle ouvert non vide, ou que n’est nulle qu’en des points isolés.
Démonstration :
: Déjà, si f est strictement croissante sur I, alors f est croissante sur I, donc .
Supposons . Il existe donc un ouvert du type (où ).
Alors est nulle sur , donc f est constante sur , ce qui est impossible car f est strictement croissante. Donc .
: Supposons que , et .
Déjà, f est croissante d’après la première condition. Elle l’est de plus strictement, car sinon il existerait avec tels que .
On aurait alors , puisque f est croissante.
C'est-à-dire qu’on aurait , donc est nulle sur , d’où (puisqu’il contiendrait au moins ) ce qui est impossible.
Donc f est strictement croissante.
Le théorème est valable aussi si f est dérivable sur I, et on a alors l’équivalence :
f est croissante sur est positive sur I.
Attention :
Le fait que I soit un intervalle est indispensable. Par exemple :
est dérivable sur , et .
Mais f n’est pas décroissante sur .
En revanche, elle l’est sur et sur
Si f n’est dérivable que sur , la continuité sur I est indispensable :
est positive sur , donc f est croissante sur , mais pas sur .
Diverses idées fausses :
Soit , dérivable sur R et même de classe . On suppose que f admet un minimum absolu (non local) en 0. On pourrait croire qu’il existe de façon qu’on ait le tableau de variations suivant :
C’est faux !!. par exemple :
f est manifestement continue sur R.
Elle est même de classe sur
f est dérivable en 0. En effet :
, donc f est dérivable en 0, et .
On voit que , car .
Donc , soit .
Donc f atteint un minimum absolu en 0.
Sur , on a :
(f est bien de classe sur R puisque est continue même en 0)
Pour assez petit, est compris entre 0 et ¼ pour .
Mais prend la valeur et sur tout intervalle du type où .
Donc n’est pas de signe constant sur , et ce quel que soit .
Donc f n’est pas croissante sur .
On peut croire que si f est de classe sur R, et si , alors est croissante au voisinage de 0. C’est vrai, mais pas si on suppose f seulement de classe sur R.
Le théorème « sans nom »
Théorème :
Soit I un intervalle de R, soit , soit .
Si f est continue sur I, dérivable sur , et si , alors :
Par conséquent :
Si a une limite finie l lorsque , alors f est dérivable en a et , donc en plus est continue en a.
Si , alors f n’est pas dérivable en a, mais la courbe de f présente une tangente verticale au point d’abscisse a.
Si n’a pas de limite lorsque , le théorème de permet pas de conclure.
Démonstration :
Soit .
Selon le théorème des accroissements finis appliqué à f entre a et x (ce qui est possible car f est continue sur et dérivable sur ), il existe tel que .
Mais car puisque .
De plus, .
Donc, d’après le théorème de composition de limite,
Or, . Donc .
Exemples :
Prenons .
Alors f est continue sur R (déjà vu), et est dérivable sur .
De plus, . Donc n’a pas de limite en 0.
Cependant, , donc f est dérivable en 0 et
(c’est simplement le cas où f est de classe mais pas de classe )
