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Intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans C
Intégration des fonctions à valeurs dans C.
Dans tout ce paragraphe, I désigne un intervalle infini de R, a et b deux réels, et on convient que si , la notation désigne le segment .
Notations et rappels
Soit une fonction (dite « complexe, d’une variable réelle »)
Soient et les parties réelles et imaginaires de f (c'est-à-dire les fonctions de I dans R définies par : )
On rappelle que f est continue sur I si et seulement si et sont continues sur I.
On notera de plus et les fonctions définies sur I par : et . Bien entendu, si f est continue sur I, alors et le sont aussi.
Fonctions continues par morceaux sur un segment
Soit . On dit que f est continue par morceaux sur lorsqu’il existe une subdivision de telle que, pour tout :
f est continue sur
f a une limite (dans C) à droite en
f a une limite (dans C) à gauche en
(C’est la définition analogue à celle qui concerne les fonctions à valeurs dans R)
On prouve immédiatement que, pour :
f continue par morceaux et continues par morceaux.
Et donc, aisément :
Si f et g sont continues par morceaux sur , alors les fonctions , (où ) sont aussi continues par morceaux.
Définition
Soit , continue par morceaux. On peut définir :
Remarque : s’il se trouve que f est à valeurs réelles, on retrouve bien l’intégrale de f sur au sens du chapitre précédent.
Premières propriétés
En utilisant la définition et les propriétés des intégrales des fonctions réelles, on établit aisément les propriétés suivantes :
Linéarité
Si f et g sont deux fonctions complexes continues par morceaux sur , alors pour tous :
Remarque : la relation de définition du C) peut maintenant être vue comme une conséquence de la linéarité.
Conjugaison
Si est continue par morceaux :
Chasles
Si f est une fonction complexe continue par morceaux sur un segment contenant a, b, c :
Fonctions « presque partout égales »
Si f et g sont continues par morceaux sur et si f et g ne diffèrent que sur un nombre fini de points, alors .
Il en résulte, comme pour les fonctions à valeurs dans R, que le calcul de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux se ramène au calcul d’une somme d’intégrales de fonctions continues.
Majoration du module
Soit , continue par morceaux.
Si , alors
Démonstration :
Posons , avec (alors )
Alors :
Soient u et v les parties réelles et imaginaires de la fonction .
Alors . Donc et .
Or, pour tout ,
Donc .
Intégrale d’une fonction continue et primitives
Rappels :
Soit . Alors f est dérivable si et seulement si et sont dérivables, et on a alors :
Soit , dérivable. Si , alors (évident puisque , et I est un intervalle)
Soit . Une primitive de f (sur I) est une fonction , dérivable, telle que . Si f admet une primitive F, alors l’ensemble des primitives de f est l’ensembles des fonctions , k décrivant C. (C’est un corollaire du point précédent)
Exemple :
Rappelons que pour avec , on définit par :
Soit , et soit la fonction définie par : .
Alors f est dérivable sur R et : .
En effet, si on pose avec , on a :
.
Donc f est dérivable sur R et, pour tout :
Il en résulte que si , la fonction est une primitive sur R de la fonction .
Théorème :
Soit , continue. Alors, pour tout :
La fonction est dérivable, de dérivée f.
Conséquence 1 :
Soit , continue. Alors f admet des primitives sur I, et, de plus, pour chaque , est l’unique primitive de f sur I qui prenne la valeur 0 en a.
Conséquence 2 :
Soit , continue, et soit F une primitive de f sur . Alors : (qu’on note )
Démonstration du théorème :
Avec les hypothèses du théorème, notons et .
Alors, pour tout : , et on sait que les fonctions et sont dérivables sur I, de dérivées respectives et (puisque et sont continues), d’où le résultat.
Les conséquences du théorème se démontrent exactement comme dans le cas réel.
Application à la recherche de primitives des fonctions réelles.
Exemple :
Nous allons déterminer une primitive sur R de la fonction réelle . On peut le faire à partir de deux intégrations par partie, mais on peut faire autrement :
Pour tout , on a (selon la définition du C)
Or,
Donc
Intégration par parties
Rappel :
Soient
Si f et g sont continues, alors est continue.
Si f et g sont dérivables, alors est dérivable, de dérivée .
Soit . Une fonction est dite de classe (sur I) lorsqu’elle est n fois dérivable sur I et lorsque sa dérivée n-ième est continue sur I.
On établit aisément que f est de classe si et seulement si et le sont.
De ces résultats, on tire immédiatement, comme dans le cas réel :
Théorème :
Soient .
Si f et g sont de classe sur :
Conséquence : Formule de Taylor avec reste intégral (à l’ordre )
Si est de classe () sur :
(La démonstration est analogue à celle fait dans le cas réel : faire une récurrence)
Conséquence : Inégalité de Taylor-Lagrange (à l’ordre )
Si f est de classe () sur , et si M désigne un majorant du module de sur (il en existe car une fonction complexe continue sur un segment de R est bornée), alors :
Démonstration :
Selon le théorème précédent, il suffit de montrer que :
Si , on a alors :
Or, pour tout ,
D’où, selon les résultats concernant les intégrales de fonctions réelles :
Si , on procède de même en écrivant :
et que, pour tout , .
Remarque importante (rappel)
Pour , on obtient l’inégalité des accroissements finis, mais on rappelle que l’égalité des accroissements finis est fausse pour les fonctions à valeurs dans C :
Si sur , il n’existe pas de tel que car il faudrait que , ce qui est impossible.
Changement de variable
Théorème :
Soit de classe , et soit , continue, avec .
Alors
La démonstration est analogue à celle faite dans le cas où f est à valeurs réelles, en utilisant bien sûr le fait que si est une primitive de f sur I, alors est dérivable sur et
Remarque importante pour finir
De même que l’égalité des accroissements finis est fausse pour les fonctions à valeurs dans C, le théorème de la moyenne est faux aussi pour f à valeurs dans C. (même exemple que pour l’égalité des accroissements finis)
Intégration des fonctions rationnelles (à coefficients dans C)
Méthode générale
Rappel :
Soit , admettant des pôles complexes avec les multiplicités . Alors F se décompose en éléments simples dans sous la forme :
Où E est un polynôme à coefficients dans C (qui est la partie entière de F), et où les sont des éléments de C.
Soit maintenant I un intervalle de R ne contenant aucun pôle de F. Pour trouver une primitive de sur I, on est donc ramené à la recherche de primitives des fonctions polynôme et des fonctions du type , où .
Cas des fonctions polynomiales : évident
Cas de , où :
Soit I un intervalle de R ne contenant pas a.
Alors la fonction admet sur I la primitive .
(La vérification est immédiate en dérivant…)
Cas de (Les logarithmes de complexes ne sont pas au programme !!)
Si , on sait que admet sur et sur la primitive .
Si , alors est défini sur R tout entier, et :
avec et .
Donc et .
On a aussi : .
Ainsi, une primitive de sur R est .
On doit donc maintenant trouver une primitive sur R de .
On a, en mettant sous forme canonique :
De plus, on a . On introduit alors tel que .
Ainsi, pour , on a :
Ainsi, une primitive de sur R est
Finalement, une primitive de sur R est :
(Bien entendu, il vaut mieux retenir la méthode que la formule, surtout dans ce dernier cas… !)
Cas des fractions rationnelles à coefficients dans R.
D’abord, bien sûr, on sait faire, puisque c’est un cas particulier du A) : on décompose la fraction rationnelle dans C et on intègre…
On peut quand même remarquer que si , sa partie entière est à coefficients réels, les coefficients apparaissant dans les parties polaires relatives à des pôles réels sont réels (voir le cours sur les fractions rationnelles), et enfin les pôles complexes non réels sont conjugués deux à deux, avec les mêmes multiplicités, et si la partie polaire relative à un pôle est , alors celle relative à est (cela résulte du fait que pour tout non pôle de F, , puisque , et de l’unicité de la décomposition en éléments simples).
Ainsi, lorsqu’il apparaît un terme (avec et ), il apparaîtra aussi . Donc, au lieu d’intégrer séparément ces deux termes, on peut plutôt les regrouper :
Où et .
Ensuite, on intègre comme dans le cas complexe…
Cependant, regrouper les termes en et pour avant d’intégrer n’a aucun intérêt (on peut le faire après)
Exemples
Déjà, il n’est pas toujours utile de décomposer systématiquement :
Une primitive de est
Recherche d’une primitive de sur :
, donc .
Ainsi, une primitive de sur I est , soit aussi
Recherche d’un primitive de sur :
Décomposition en éléments simples dans :
La partie entière est nulle, et la décomposition est de la forme :
(1)
(En utilisant le fait que est égal à son conjugué et l’unicité de la décomposition en éléments simples, on montre que mais on peut faire autrement dans ce cas)
En remplaçant X par , on obtient :
Donc, par unicité de la décomposition en éléments simples :
Il nous reste donc à trouver
En multipliant (1) par , on obtient :
Où G est une fraction rationnelle dont 1 n’est pas pôle.
En remplaçant X par 1, on obtient
En dérivant formellement cette dernière égalité, on a alors :
En prenant la valeur en 1, on a alors .
Ainsi :
En regroupant et , on obtient :
On a :
Et
Or, pour tout , on a :
.
Donc une primitive de sur R est.
D’autre part, une primitive de sur R est :
, soit aussi .
Ainsi, une primitive sur I de est la fonction :
Primitives des fonctions où et
Soit , , et soit définie par . f est continue sur R ; cherchons une primitive de f.
Etude :
Soit , quelconque, et soit définie par .
Alors g est dérivable, et .
On a donc les équivalences :
(La deuxième équivalence se justifie par le fait que deux polynômes qui coïncident sur une infinité de valeurs sont égaux)
Un peu d’algèbre :
Soit tel que
Soit
(la définition a bien un sens car si , alors )
Alors est linéaire (vérification immédiate), et comme , on remarque que :
Ainsi, est injective (puisque )
Comme est un endomorphisme en dimension finie, est bijective.
Ainsi, il existe un unique tel que , et on a même
Conclusion :
Les primitives de sur R sont les , où Q est un certain polynôme de même degré que P (on l’obtient par identification)
Ce résultat est faux pour (en particulier parce que Q est de même degré que P)
Intérêt :
On peut ainsi obtenir les primitives des fonctions réelles de la forme :
et (où , et ).
Exemple :
Recherche de primitives de et
Soit . Alors , et si F est une primitive de f, alors est une primitive de et une primitive de .
On cherche F sous la forme
Alors
D’où, après calculs, on obtient qu’une primitive de f est F donnée par :
Ainsi :
Complément : règle de Bioche
On cherche l’intégrale d’une fraction rationnelle F en et
()
Si (attention au !) est inchangé par , faire le changement de variable peut être utile pour calculer l’intégrale.
Si c’est inchangé par , faire le changement de variable
Si c’est inchangé par , faire le changement de variable
