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Propriétés de l’intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux
Notations et remarques :
Toutes les fonctions considérées sont à valeurs dans R.
Soit S un segment de R.
Soit , continue par morceaux (noté parfois c.p.m.)
Alors f est continue par morceaux sur tout segment contenu dans S (évident).
Pour a, b de I, on note :
Premières propriétés
Ici, a et b désignent deux réels quelconques
Positivité
Soit f continue par morceaux sur , avec .
Si sur , alors .
Démonstration :
La fonction nulle appartient à .
Or, par définition, . Donc .
Linéarité
Soient continues par morceaux sur un segment , et .
Alors :
Autrement dit, l’application , définie sur l’ensemble des fonctions continues sur , est linéaire (rappel : cet ensemble est un sev de ).
Démonstration : dans le cas
: soit
Il existe et telles que :
En effet :
Donc n’est pas un majorant de . Il existe donc tel que
Et comme est un majorant de cet ensemble, on a
Mais, par ailleurs, . Donc en raisonnant de la même façon, on trouve les deux dernières inégalités de (1)
De même, il existe et telles que :
En sommant (1) et (2), on obtient alors :
Par ailleurs :
est une fonction en escalier, et
Donc .
De même,
Donc
En effet, est la borne supérieure de l’ensemble des pour et la borne inférieure de l’ensemble des pour .
Or, comme est une fonction en escaliers, .
Il résulte alors de (3) et (4) que
Enfin, comme c’est valable pour tout , on obtient, en le faisant tendre vers 0 :
Remarque : seule l’intégrabilité a ici été utilisée.
1er cas :
Avec les mêmes notations que précédemment :
D’où
Par ailleurs, et sont en escalier et .
Donc et
Donc
Il en résulte que :
d’où le résultat cherché en faisant tendre vers 0.
2ème cas : , la démonstration est analogue en « retournant » les inégalités.
Le cas où est immédiat.
Le cas où peut être traité en écrivant les résultats montrés pour le cas où et en multipliant les inégalités par -1.
Additivité par rapport aux intervalles, théorème de Chasles
Théorème :
Soit S un segment de R, et f une fonction définie sur S.
Alors, pour tous a, b, c de S, on a :
.
Démonstration :
1er cas : si
Soit .
On note et les ensembles des fonctions et en escalier sur telles que
On introduit alors et telles que :
On a alors : .
En effet, est en escalier sur
Et
D’où, d’après la définition de , , et, de même, on montre la deuxième inégalité.
De même, on a aussi :
Ainsi, en sommant (et en prenant en compte les propriétés des fonctions en escalier) :
On montre ensuite le résultat de la même manière que dans les autres théorèmes.
Pour les autres cas, on montre aisément le résultat grâce à celui-ci, par exemple :
Si , immédiat…
Si , alors
D’où , soit
Croissance
Si f, g sont continues par morceaux sur avec , et si , alors :
.
La démonstration est immédiate en utilisant la linéarité et la positivité.
Majorations, minorations d’intégrales
Théorème :
Soit f continue par morceaux sur un segment , avec .
(Alors f est bornée sur ).
On a :
Démonstration : (cas où évident)
, donc, par croissance (puisque ) :
, d’où l’inégalité (puisque et sont constantes)
On a :
Donc , soit , d’où le résultat (on utilise le fait que si , alors )
Conséquences :
Si f et g sont continues par morceaux sur avec :
Pour la dernière inégalité : on a en effet : , et la croissance de l’intégrale.
Remarque à propos de la croissance :
La théorie, c’est .
En pratique, on utilise :
On dit « intégrer une inégalité »
Dans les cas où , en pratique, on « retourne » :
Il peut cependant être utile de savoir que (même quand )
Considérations à propos de l’intégrale des fonctions continues par morceaux
Proposition :
Si f et g sont deux fonctions continues par morceaux sur qui ne diffèrent que sur un nombre fini de points, alors .
Démonstration :
est une fonction en escalier dont l’intégrale est évidemment nulle. (car sa valeur constante sur chaque intervalle ouvert d’une subdivision subordonnée est nulle).
Etude :
Soit f continue par morceaux sur (et non continue)
Soit une subdivision subordonnée à f.
On sait que pour tout , on peut introduire , prolongement par continuité de à .
Alors
Donc .
Ce qui ramène l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment à une somme d’intégrales de fonctions continues sur des segments.
Positivité stricte
Théorème :
Soit f une fonction continue sur un segment avec .
Si f est positive et non identiquement nulle, alors
Remarque : c’est faux pour une fonction continue par morceaux et non continue.
Démonstration :
On se place dans les hypothèses du théorème : il existe alors tel que .
Comme f est continue en c, il existe tel que :
Alors
Inégalité de Cauchy–Schwartz pour les intégrales
Dans ce paragraphe, a et b sont deux réels tels que
Un produit scalaire sur
(Rappel : est un R-ev)
Proposition :
L’application est un produit scalaire.
Démonstration :
Pour tous et , on a :
D’où la bilinéarité.
Pour tous , on a :
D’où la symétrie
Pour tout , on a :
car (d’où la positivité)
Si , alors (positivité stricte puisque est positive et continue)
D’où
L’application est donc bien définie–positive.
Conséquence : inégalité de Cauchy–Schwartz
Pour tous , on a :
Variante :
.
Sommes de Riemann
Dans ce paragraphe, a et b désignent deux réels, avec .
Le théorème
Définition :
Soit f continue sur , et une subdivision de .
Une somme de Riemann attachée à f et , c’est une somme du type :
, où est une famille de points de telle que .
Visualisation :
Théorème :
Soit f continue sur .
Soit .
Alors il existe tel que, pour toute subdivision de pas inférieur à et toute somme de Riemann S attachée à f et ,
(Le pas d’une subdivision est la valeur de )
Démonstration :
Soit .
On introduit alors tel que (ce qui est possible car f est continue sur le segment , donc elle y est uniformément continue)
Soit une subdivision de pas inférieur à .
Pour chaque , on prend
Soit alors
Soit . On a :
Pour tout , on a puisque
Donc
De plus, on a :
D’où :
Cas particulier : les sommes Sn, sn, Mn.
Soit f continue sur
On note :
C'est-à-dire :
On prend pour la subdivision régulière de en n segments, et, en notant , on prend les
(Même subdivision, mais )
()
Théorème :
Les suites convergent vers .
Démonstration :
Soit , soit comme dans le théorème précédent.
Soit tel que
Alors, pour tout tel que , la subdivision régulière de en n parties est de pas , donc
Ainsi,
(pour les autres suites remplacer simplement )
Exemple :
(pour ). Montrer que converge.
On a, pour tout :
avec .
Les sont les points de la subdivision régulière de en n parties : on reconnaît alors une somme de Riemann :
f étant continue sur , tend vers lorsque n tend vers .
Retour aux sommes de Riemann générales
Majoration de l’erreur quand f est lipschitzienne :
On suppose ici l’existence de tel que :
Soit S une somme de Riemann attachée à f et avec le choix des points . Majorons
En reprenant la démonstration du A) :
Où on a noté le pas de la subdivision.
Ainsi, en continuant la démonstration comme au A) :
Ou, lorsque la subdivision est régulière :
Remarque sur la méthode des trapèzes
Prendre ou comme approximation de , c’est appliquer la méthode des rectangles. (pour aussi)
Prendre comme approximation de s’appelle appliquer la méthode des trapèzes :
Cas où f est monotone (et toujours continue)
Supposons f croissante ; alors, en notant toujours la subdivision régulière de en n parties :
Donc
D’où, en sommant :
Il en est de même quand f est décroissante (en retournant les inégalités)
Application :
Exemple numérique :
Donner une approximation à 2.10-1 près de .
On note .
f est décroissante. Donc
On encadre I par et avec n tel que ; on prend ainsi .
D’où
Donc à 10-1 près
ou à 2.10-1 près.
Remarque
La théorie parle de pour f continue sur .
En pratique, on reconnaît le plus souvent où est continue sur .
Et, en effet, avec :
Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment
Soit , continue, avec .
On définit la valeur moyenne de f sur :
Explication :
La valeur moyenne h de f sur est le réel h tel que l’aire hachurée soit l’aire correspondante pour la fonction constante égale à h.
Ou :
Soit la subdivision régulière de .
Moyenne arithmétique des :
