Transcript
Intégrale d’une fonction continue sur un segment et dérivation
Le résultat fondamental
Théorème
Théorème :
Soit I un intervalle de R, et une fonction continue. Soit .
Alors l’application (qui est bien définie sur I car , , et donc f est continue sur ce segment) est dérivable de dérivée f.
Démonstration :
Soit . Montrons que F est dérivable en et que .
Pour cela, étudions pour , de manière à montrer que cela tend vers 0 quand x tend vers .
Pour cela, étudions pour :
Dans les deux cas :
Donc
Or, . En effet :
Soit , soit tel que ( existe car f est continue en ). Alors, pour tel que , on a , .
Donc , .
Donc , soit
Donc , ce qui montre la limite voulue.
D’où on tire alors le résultat voulu.
Remarques
Soit f une fonction définie sur I, où I est un intervalle. On suppose f non continue, mais cependant continue par morceaux sur tout segment contenu dans I.
Alors, pour tout , est parfaitement définie car f est continue par morceaux sur le segment .
Elle est continue :
Soit , . Soit . Pour tout , on a :
Donc F est lipschitzienne sur S, donc sur un voisinage de . Donc F est continue en .
De plus, la démonstration précédente montre que F est dérivable en tout où f est continue.
En revanche, F n’est pas dérivable en un où f n’est pas continue. Exemple :
f étant continue par morceaux sur un segment contenant , elle admet une limite finie à
En se plaçant dans le cas de la figure :
F est dérivable de dérivée f sur , mais aussi sur .
Si F était dérivable en , le théorème sans nom dirait :
, d’où contradiction.
Conséquence du théorème
Théorème :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Alors :
(1) f admet des primitives sur I.
(2) Si G est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont exactement les
(3) Pour tout , est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
(4) Si G est une primitive de f, alors, pour tout , on a :
, noté
Démonstration :
Voir théorème : si on se donne , est une primitive de f.
Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors :
, donc . Donc car I est un intervalle. Inversement, si G est une primitive, alors en est aussi une
est une primitive, elle est nulle en a, et c’est la seule d’après (2).
Soit G une primitive de f. Alors la fonction est une primitive de f qui s’annule en a. Alors
Exercices d’application
Soit . Alors, comme est continue sur R, F est définie et dérivable sur R, et : . D’où étude (en exercice)…
Soit .
Déjà, a un sens lorsque est définie et continue (intégrable suffit mais ici c’est pareil…) sur le segment , c'est-à-dire lorsque 1 n’appartient pas au segment , c'est-à-dire lorsque ou . Ainsi, le domaine de définition de est
Justifier que est dérivable sur D, donner :
Dérivabilité sur :
f est continue sur l’intervalle . Donc elle y admet une primitive, disons F. Alors ((4) du théorème précédent). Donc est dérivable sur et, pour tout :
Dérivabilité sur : analogue.
Les choses fausses
f intégrable sur un segment f admet une primitive sur
f admet une primitive sur f est intégrable sur
Exemples :
Si f est continue par morceaux sur (mais pas continue)
Alors f est intégrable sur , mais n’admet pas de primitive sur :
Si F en était une, il y aurait contradiction avec le théorème sans nom pour où c est un point de discontinuité.
Considérons
Alors F est dérivable sur , et :
De plus, pour tout : . Donc F est dérivable en 0 et
La fonction est continue sur . Elle y admet donc une primitive G. Ainsi, pour tout :
La fonction admet donc une primitive sur (à savoir ), mais elle n’est pas intégrable car non bornée.
(Remarque : elle n’est pas continue en 0, ni continue par morceaux sur car, en 0, il n’y a pas de limite finie à droite)
On rappelle aussi que pour f continue sur D, si F est une primitive de f sur D, il est faux en général que les primitives de f sur D sont les (car D n’est pas forcément un intervalle)
Tableau des primitives usuelles
Tableau donnant la valeur en x d’une primitive F pour une fonction f continue sur un intervalle I :
Intégration par parties
Théorème
Théorème :
Soient .
Soient f, g deux fonctions de classe C1 sur le segment .
Alors .
Démonstration :
et sont continues sur , donc déjà les deux intégrales on un sens. De plus, une primitive de la fonction (continue) est . Donc
D’où le résultat par linéarité.
Exemples pratiques
Remarque : pour tout , on a de même :
Or, est une primitive de la fonction continue . Ainsi, une primitive de est
On trouve parfois (mais il faut éviter de l’utiliser) la notation :
Pour tout ,
Ainsi, une primitive de sur est .
Pour tout (voire même ) :
pour :
, d’où
Pour tout , on note
Alors :
et . Donc
Formule de Taylor avec reste intégral
Théorème :
Soient , .
Soit f de classe sur .
Alors :
Démonstration : par récurrence sur n.
Pour : le théorème dit que pour f de classe sur :
. Ok
Soit , supposons le théorème vrai pour n.
Déjà, f est de classe , donc :
Or,
Ce qui achève la récurrence.
Intérêt de la formule : très simple à démontrer par rapport aux autres.
Changement de variable
Le théorème
Théorème :
Soient .
Soit de classe .
Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant (et à valeurs réelles)
Alors
On dit qu’on a fait le changement de variable
Démonstration :
La fonction est continue sur .
En effet, est de classe sur , et f est continue sur I, contenant .
Donc est continue sur .
Enfin, est de classe sur , donc est continue sur .
Donc, par produit, est continue sur .
La fonction f est continue sur I. Elle y admet donc une primitive F.
Alors est dérivable sur , de dérivée , soit
Ainsi, la fonction continue admet la primitive .
Donc
Or, .
(Puisque f est continue sur I, qui contient et et F en est une primitive)
Exemples
(dans ce dernier, on va « de droite à gauche », contrairement aux autres exemples.)
Ici, (de classe sur R), (continue sur )
Remarque : on pouvait voir que correspond aussi à de l’aire du cercle trigonométrique…
Variante : on peut faire aussi plutôt le changement de variable :
(on a ; pour , pour )
Application aux fonctions paires, impaires, périodiques
Proposition :
Soit I un intervalle de R contenant 0 et symétrique par rapport à 0.
Soit continue. Alors :
Si f est paire, alors (et )
Si f est impaire, alors (et )
Démonstration :
Pour tout , on a :
, et on obtient le résultat voulu dans les deux cas.
Proposition :
Soit f une fonction T-périodique sur R et continue. Alors :
(1) pour tout ,
(L’intégrale de f est invariante par translation de vecteur T de l’intervalle d’intégration)
(2) pour tout ,
(L’intégrale de f sur un segment d’amplitude T ne dépend pas de ce segment)
Démonstration :
On fait le changement de variable ()
Relation de Chasles :
Application :
Et : car est continue, (et même dérivable)
Pour tout :
Donc
Un théorème de la moyenne
Théorème :
Soit , continue.
Alors il existe (et même si ) tel que :
.
Démonstration :
C’est le théorème des accroissements finis appliqué à une primitive de F de la fonction continue f.
(Le théorème est hors programme, il faut donc le redémontrer à chaque fois…)
Ainsi, la valeur moyenne de f sur est une valeur atteinte (d’où le nom du théorème). Attention, ce théorème ne se généralise pas aux fonctions à valeurs dans C !
