Integrale double.docx

Intégrale double Ici, est muni de sa structure euclidienne naturelle. Sous-ensemble quarrable de , aire Aire d’un pavé borné de . Soit P un pavé borné de , où et sont des intervalles bornés de R, d’extrémités respectives et (avec et ) L’aire de P est par définition . L’intérieur de P est . Partie pavable Soit . On dit que X est pavable lorsque X est une réunion finie de pavés bornés. On peut démontrer, et c’est intuitivement clair, que si est pavable, alors X peut s’écrire , où I est fini, où chaque est un pavé borné, et où les sont disjoints deux à deux, et que le réel ne dépend que de X. Ce réel est appelé l’aire de X, et est noté . Partie quarrable Définition : Soit A une partie bornée de . Soit la borne inférieure des aires des ensembles pavables contenant A. Soit la borne supérieure des aires des ensembles pavables contenus dans A. On dit que A est quarrable lorsque . L’aire de A est alors, par définition, . (Cette définition a bien un sens, car on vérifie immédiatement que les bornes en questions existent bien) Propriétés (admises) : Si A et B sont quarrables, alors sont quarrables, et : Si A et B sont disjoints, Et dans tous les cas m est invariant par isométrie Une partie bornée du plan dont la frontière (c'est-à-dire ) est le support d’un arc paramétré continu et de classe par morceaux est quarrable. Définition de l’intégrale double d’une fonction continue et bornée Subdivision d’une partie quarrable Soit D une partie quarrable de . Une subdivision de D est une famille finie de parties quarrables telle que , les étant non vides et disjoints deux à deux. Le pas de cette subdivision est le maximum des diamètres des (Le diamètre de est ) Définition Soit D une partie quarrable de , soit . On dit que f est « en escalier » sur D lorsqu’il existe une subdivision de D telle que f soit constante sur chaque . Définition : Soit D une partie quarrable de , soit en escalier. On peut définir l’intégrale (double) de f sur D par : , où est une subdivision de D telle que sur chaque (la définition est indépendante du choix d’une telle subdivision) Théorème, définition (admis) : Soit D une partie quarrable de , et soit continue et bornée. On peut définir Et Alors , et ce réel est appelé l’intégrale (double) de f sur D et est noté ou . Premières propriétés de l’intégrale double Dans ce paragraphe, les domaines sont supposés quarrables, et les fonctions continues et bornées. Additivité par rapport au domaine d’intégration Si , alors . Propriétés relatives à la fonction Linéarité : l’application est linéaire. Croissance : si , alors : Si D est ouvert, et si f est positive, Attention, c’est vrai parfois quand D n’est pas ouvert, mais le résultat est faux en général. Par exemple, mais on peut très bien avoir . Formules de Fubini (admises) f désigne une fonctions continue et bornée sur un domaine D. cas où (avec ) – D est alors quarrable. Alors : Cas particulier : Si et sont deux fonctions continues, alors : Cas où il existe deux fonctions continues de dans R telles que : et (Ainsi, D est quarrable) Alors Cas particulier où  : on retrouve l’aire de D : Résultat analogue en échangeant les rôles : S’il existe deux fonctions continues définies sur telles que et , alors D est quarrable, et : . Remarque : en général, on a le choix entre l’application du (2) et du (3), et l’un peut être plus judicieux qu’un autre (il vaut mieux commencer par exemple par l’intégrale la plus simple). Exemple : Si D est le quart de cercle de centre O, de rayon 1 : On veut calculer . Comme , on a : . On pose . En faisant le changement de variable , on obtient Soit . Donc Et, après calcul et simplification, . Changement de variable (admis) Préliminaire Soient U et V deux ouverts de . Un difféomorphisme de U sur V est une application de U sur V, bijective et de classe , dont la réciproque est aussi de classe . Etant donnée une application de classe , pour que soit un difféomorphisme de U sur son image , il faut et il suffit que soit injective et que le jacobien de ne s’annule pas sur U. Où, par définition, le jacobien de en est : où . Théorème Soit K un compact quarrable de . (Ne pas chercher à savoir ce que signifie « compact de  », savoir seulement que les domaines définis dans les hypothèses de Fubini – tels que définis au paragraphe précédent – sont des compacts quarrables, et que pour de tels domaines K, l’intérieur de K est le domaine admettant la même définition mais avec des inégalités strictes) Soit une application définie sur un ouvert U contenant K, à valeurs dans , de classe , telle que définisse un difféomorphisme de sur son image. Alors est un compact quarrable de , et pour toute fonction f continue sur , on a : Remarque : Selon le préliminaire, pour vérifier que définit un difféomorphisme sur son image, il suffit de vérifier que est injective et que ne s’annule pas sur . Remarque 2 : Toute fonction continue sur un compact de à valeurs dans R est bornée. Exemple important : changement de variable affine On suppose ici que est une application affine de dans bijective. Soit alors la matrice, dans la base canonique de , de la partie linéaire de (A est inversible car , et donc sa partie linéaire, est bijective). Soient les applications composantes de (c'est-à-dire définies par ). Alors, pour tout , on a : , où on a noté . Alors on voit immédiatement que, pour tout  : , donc Et la restriction de à n’importe quel ouvert de définit un difféomorphisme de cet ouvert sur son image (d’après le préliminaire) Ainsi, pour tout compact quarrable K de et toute application continue f de dans R, on a : Applications : Si est une isométrie, on a , et on obtient alors : Cela permet d’utiliser les symétries : Si par exemple et Alors où En effet, avec le changement de variable correspondant à (symétrie orthogonale par rapport à ), on voit que (où ) De même pour d’autres symétries. Calcul de l’aire délimitée par l’ellipse . Soit l’application affine laissant invariant, transformant en et en . Le jacobien de est , et transforme le cercle C d’équation en l’ellipse E, et bien sûr la surface délimitée par C en la surface délimitée par E. Donc, en notant K le disque délimité par C, l’aire délimitée par l’ellipse est : (Car , connu et montré dans la suite) Autre exemple important : passage en coordonnées polaires Soit . Alors est de classe sur , et en tout , le jacobien de vaut : . Premier cas Soit K défini par , où sont tels que et . On voit que l’intérieur de K est . On vérifie immédiatement que est injective. (Car, pour , on a et , ce qui évite que deux éléments distincts de aient la même image par ) De plus, le jacobien de sur ne s’annule pas. (Car ) Donc le théorème de changement de variables s’applique et donne, pour toute fonction continue f sur  : En particulier, en prenant , l’aire de est : En prenant , l’aire du disque de rayon r est . Deuxième cas, plus général K est défini par Où et sont tels que et où et sont deux fonctions continues sur telles que . Voici alors l’allure de  : Le même raisonnement que précédemment donne alors : Cas particulier : Aire d’un secteur délimité par une courbe d’équation polaire  : On suppose ici que f est continue sur un intervalle avec . Soit D le domaine défini par : D est délimité par la courbe C d’équation polaire et par les « rayons » d’angles polaires et . Alors l’aire de D est : Extension aux intégrales triples Toutes les notions et théorèmes vus pour les intégrales doubles sont adaptables aux intégrales triples (qu’on note ), voire multiples… Pour adapter la définition du jacobien : Soit une partie de , soit de classe , et soit . La matrice jacobienne de f en A, c’est la matrice de la différentielle de f en A (c'est-à-dire de , qui est linéaire) dans les bases canoniques de et . (Et le jacobien est le déterminant de cette matrice) Intégrale de surface L’intégrale de surface est aux nappes paramétrées ce que l’intégrale curviligne est aux arcs paramétrés. Tout est admis dans ce paragraphe. Soit S une nappe paramétrée simple, régulière (c'est-à-dire que ne s’annule pas) de classe définie par une paramétrisation : Où est une partie quarrable de . L’application est alors continue, et on suppose de plus qu’elle est bornée sur . Alors l’aire de S est Très intuitivement, le plan tangent au point de S est dirigé par et , « l’aire élémentaire » est , noté A rapprocher du fait que l’aire du parallélogramme est . Si est une fonction numérique définie et continue sur le support de la nappe S, l’intégrale de sur S est l’intégrale (dite intégrale de surface) : Intérêt : si représente par exemple la densité surfacique, cette intégrale donne la masse de la nappe. Masses, centres et moments d’inertie Pour un arc dans le plan ou l’espace Soit un arc de classe et de support C. Soit , continue (densité linéique) (Le cas des arcs plans est bien entendu un cas particulier : avec la troisième composante nulle). La masse de C est Le centre de gravité est tel que C'est-à-dire que où étant un point ou une droite, le moment d’inertie de C par rapport à est : (où est la distance de M à ) Pour une surface dans le plan . Avec des notations évidentes : Masse : Centre de gravité G tel que Moment d’inertie par rapport à  : Pour une surface dans l’espace . Même chose, mais avec des intégrales de surface : Masse : Centre de gravité G tel que Moment d’inertie par rapport à  : Pour un volume dans . Comme pour une surface dans avec des intégrales triples : Masse : Centre de gravité G tel que Moment d’inertie par rapport à  : . Formule de Green–Riemann (admise) Compact élémentaire, compact simple Soit K un sous-ensemble de . On dit que K est un compact élémentaire lorsqu’il vérifie les hypothèses du théorème de Fubini par rapport aux deux axes, c'est-à-dire : K peut être défini par (où sont continues sur ) Et aussi par (où sont continues sur . Un sous-ensemble K de est un compact simple lorsqu’il se découpe, en traçant des parallèles aux axes, en un nombre fini de compacts élémentaires. On admet que la frontière d’un compact simple constitue un arc fermé simple, de classe par morceaux, et que l’on peut orienter positivement (dans le sens trigonométrique direct) Exemples : Est un compact élémentaire (donc aussi simple) Est un compact simple, mais non élémentaire (découpé ici en 6 compacts élémentaires). On a pu ici orienter sa frontière dans le sens direct (trigonométrique direct) Théorème (Green–Riemann) Soit K un compact simple, dont la frontière est orientée positivement. Soit une forme différentielle de classe sur un ouvert contenant K. Alors Application aux calculs d’aires Soit un arc fermé simple de classe par morceaux, définissant la frontière, orientée positivement, d’un compact simple K : L’aire de K est donc En particulier, si K peut être défini par , , on retrouve : En effet, Dans tous les cas, l’aire de K est aussi donnée par . Dans le cas où est donnée par une équation polaire , , on a donc, sur  : D’où Donc et donc (formule déjà vue) Ainsi, avec les hypothèses vues plus haut :