Courbes equation polaires.docx

Courbes d’équation ? = f(?) en coordonnées polaires Préliminaire Ici, P désigne un plan affine euclidien orienté, un repère orthonormé. Pour , on note . Soit . M admet le système de coordonnées polaires . Ainsi, M est sur la droite , et . et sont de même sens si et seulement si . Soit I un intervalle infini de R. Soit , de classe au moins. La courbe d’équation polaire dans R, c’est C’est donc le support de l’arc paramétré . Rappel : est de classe sur R, et , noté . Et, par récurrence, . La donnée de et du signe de donne l’angle , ce qui suffit quasiment à tracer la courbe (ou du moins l’allure). Exemple : . Données : f est de classe , et on a le tableau de signes : Réduction de l’intervalle d’étude On considère une courbe . Divers exemples : Si il existe tel que , alors , puisque . On obtient ainsi tout C pour décrivant un intervalle d’amplitude . Si il existe tel que  : On obtient donc encore tout C avec un intervalle d’amplitude . Si On obtient alors C en se limitant à (ou ), et en opérant sur la courbe obtenue une symétrie d’axe Si On obtient tout C en se limitant à puis en faisant une symétrie d’axe . Si Idem que précédemment, avec (ou ) Si On obtient C en se limitant à , puis en faisant une symétrie d’axe . Si On dessine sur un intervalle d’amplitude , puis on fait une symétrie par rapport à O. Autres cas plus variés : Si  : On dessine sur , puis on fait une rotation d’angle (3 fois) et de centre O. Si  : On fait l’étude pour , puis une symétrie par rapport à la première bissectrice. Si  : On étudie sur un intervalle d’amplitude , puis on fait toutes les homothéties de centre O et de rapport . Exemples, construire les courbes : Pour les , on peut se limiter à un intervalle d’amplitude . Pour  : on se restreint à  : On peut se limiter à , puis on fait une symétrie d’axe  ; rien de mieux. On obtient un cercle : Pour  : . On peut donc se restreindre à .  : Etude sur , puis symétrie d’axe .  : Etude sur , puis une symétrie d’axe donne sur . Pour  :  : Etude sur un intervalle d’amplitude .  : Etude sur un intervalle d’amplitude , puis 2 rotations d’angle et de centre O.  : Etude sur , puis symétrie d’axe donne la courbe sur  :  : Etude sur  : Etude sur , puis symétrie d’axe . Etude des tangentes Soit , où f est de classe (au moins) Soit , on cherche la tangente en . . Donc Ainsi, sur une courbe d’équation polaire , si , alors ce point n’est pas stationnaire (la famille est en effet libre, pour tout , elle forme même une base orthonormée directe de la direction de P) Si  : fait un angle avec tel que En effet : Si on note , alors Donc et , (et donc ) D’où le résultat. Ainsi : Si , ce point n’est pas stationnaire, et la tangente en ce point fait avec un angle orienté tel que On peut aussi retenir que si et sinon. Si  : Si , alors n’est pas stationnaire et la tangente est dirigée par . Si et qu’on peut dériver suffisamment de façon à tomber sur le premier non nul (s’il en existe) : Ainsi, dans tous les cas la tangente est dirigée par . Exemple : (« cardioïde »)  : Etude sur  : Etude sur , puis symétrie d’axe . Si  : Etude des tangentes : Donc En , on a donc , donc (et ). En , , donc (et ). Branches infinies Diverses situations : Soit où I est un intervalle infini. Si I n’est pas majoré/minoré et , on a une branche infinie spirale. Si où  : on obtient une direction asymptotique dirigée par /d’angle polaire . En effet, en coordonnées cartésiennes : Donc si , au voisinage de  : . On a alors une direction asymptotique de pente . Si , au voisinage épointé de  : Pour avoir les asymptotes, on fait ensuite l’étude de … Exemple : où .  : Etude sur .  : Etude sur puis symétrie par rapport à . Autre exemple :  : Etude sur . Déjà, on a une direction asymptotique horizontale : Tangente au point de paramètre  : où . . Donc . Donc et OM est horizontal. Donc T est de pente 2. En  : . On note On a Donc . Donc la tangente est de pente Recherche de points doubles On doit chercher les points doubles parmi les solutions de : Et Et Exemple : on reprend celui de la fin du paragraphe précédent : On cherche un point double, pour et (d’après l’allure de la courbe). On cherche donc tel que . C'est-à-dire Soit Soit Soit C'est-à-dire Soit . Donc . Quelques courbes classiques en coordonnées polaires Droites Droite passant par O : est une équation en coordonnées polaires de D. Droite orthogonale à unitaire et passant par H tel que . Rappel : Soit : Donc Si (alors , ), c'est-à-dire si D ne passe pas par O, l’équation s’écrit aussi . Cercles Cercle de centre O : Pour , est une équation du cercle de centre O et de rayon a ( en est aussi une) Cercle C passant par O et de centre de coordonnées polaires . (C'est-à-dire telles que ) Soit . On a les équivalences : Une équation polaire de C est donc L’équation trouvée est donc de la forme . Inversement, soit . Si , alors . Sinon, et se met sous la forme (avec et tel que , ) On reconnaît le cercle passant par O de centre tel que . Conique dont un des foyers est O. Soient D une droite ne passant pas par O, , où H est le projeté orthogonal de M sur D. Si , on a une hyperbole, si une parabole et si une ellipse. Disons que D est orthogonale à et passe par K tel que ( car D ne passe pas par O) Ainsi, Soit (donc ) H est déterminé par : et est colinéaire à . Donc . Donc . Ainsi, on a les équivalences : (Pour la dernière équivalence, si , on a en effet car sinon ou ce qui est faux) Une équation polaire de C est alors . (En effet, est solution de (1) si et seulement si est solution de (2)) s’appelle le paramètre de la conique. On retrouve la nature de la conique avec l’équation : Si ne s’annule pour aucune valeur de (c'est-à-dire si ), tout les sont permis, on a donc une ellipse. Si s’annule pour deux valeurs de (modulo ), c'est-à-dire si a deux solutions , c'est-à-dire si , on a alors une hyperbole. Si ne s’annule qu’une fois modulo , c'est-à-dire si , on a alors une parabole. Réciproque : Soit avec , . 1er cas : Si . avec , on obtient une droite. 2ème cas : Si et avec et . On reconnaît une conique d’excentricité e, de foyer O et de directrice associée 3ème cas : Si et . On obtient un cercle de centre O.